3.(2 балла) Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

В правильном (равностороннем) треугольнике радиус вписанной окружности ( r ) связан со стороной треугольника ( a ) соотношением: $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$ Отсюда выражаем сторону ( a ): $$a = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 12.3 \cdot \sqrt{3} = 24.6\sqrt{3}$$ Приблизительно, ( a \approx 42.59 ) см. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ Подставляем найденное значение стороны ( a ): $$S = \frac{(24.6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{24.6^2 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{1815.48\sqrt{3}}{4} = 453.87\sqrt{3}$$ Приблизительно, ( S \approx 785.84 ) см². Ответ: Сторона треугольника равна $$24.6\sqrt{3}$$ см (приблизительно 42.59 см), а площадь равна $$453.87\sqrt{3}$$ см² (приблизительно 785.84 см²).