B8 Найдите значение выражения 45√14 (tg 2a + sin 2a), если cosa = -√2/3 и π/2 < α < π.

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо найти значения $$\sin 2\alpha$$ и $$\operatorname{tg} 2\alpha$$, исходя из заданного значения $$\cos \alpha$$ и диапазона угла $$\alpha$$. Воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем $$\sin \alpha$$. Поскольку $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$ (второй квадрант), $$\sin \alpha$$ будет положительным.
   $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$.
   $$\sin \alpha = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$.
2. Шаг 2: Найдем $$\sin 2\alpha$$.
   $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{14}}{9}$$.
3. Шаг 3: Найдем $$\cos 2\alpha$$.
   $$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{2}{9}\right) - 1 = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$$.
4. Шаг 4: Найдем $$\operatorname{tg} 2\alpha$$.
   $$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-2\sqrt{14}/9}{-5/9} = \frac{2\sqrt{14}}{5}$$.
5. Шаг 5: Подставим найденные значения в исходное выражение.
   $$45\sqrt{14} \left(\operatorname{tg} 2\alpha + \sin 2\alpha\right) = 45\sqrt{14} \left(\frac{2\sqrt{14}}{5} - \frac{2\sqrt{14}}{9}\right)$$.
6. Шаг 6: Вычислим значение выражения.
   $$45\sqrt{14} \left(\frac{18\sqrt{14} - 10\sqrt{14}}{45}\right) = 45\sqrt{14} \left(\frac{8\sqrt{14}}{45}\right) = \sqrt{14} \cdot 8\sqrt{14} = 8 \cdot 14 = 112$$.

Ответ: 112