B7 В геометрической прогрессии (b_n) известно, что b_3 = 8, q = 2, b_n = 64. Найдите сумму n первых членов этой геометрической прогрессии.

Краткая запись:

• $$b_3 = 8$$
• $$q = 2$$
• $$b_n = 64$$
• Найти: $$S_n = ?$$

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем первый член прогрессии ($$b_1$$), используя формулу n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 q^{n-1}$$.
   Для $$b_3$$: $$8 = b_1 2^{3-1} 2^2 4$$.
   $$b_1 = 8 / 4 = 2$$.
2. Шаг 2: Найдем номер члена прогрессии (n), который равен 64.
   $$b_n = b_1 q^{n-1}$$
   $$64 = 2 2^{n-1}$$
   $$32 = 2^{n-1}$$
   $$2^5 = 2^{n-1}$$
   $$5 = n-1$$
   $$n = 6$$.
3. Шаг 3: Найдем сумму первых n членов геометрической прогрессии по формуле: $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$$.
   $$S_6 = \frac{2(2^6 - 1)}{2-1} = \frac{2(64 - 1)}{1} = 2 63 = 126$$.

Ответ: Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна 126.