B7 Найдите tg a, если cos a = √10/10 и α∈(3π/2; 2π).

Решение:

Известно, что \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).

Найдём \( \sin^2\alpha \):

\( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \)

\( \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)

Так как \( \alpha \) находится в IV координатной четверти (\( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \)), то \( \sin\alpha \) отрицателен.

\( \sin\alpha = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \)

Теперь найдём \( \operatorname{tg}\alpha \) по формуле \( \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \):

\( \operatorname{tg}\alpha = \frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \times \frac{10}{\sqrt{10}} = -3 \)

Ответ: -3