А4. На сторонах АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р.М.Е и К так. что АР =BM=CE=DK = 4 см. угол ВМР равен 60°. Чему равен периметр четырехугольника РМЕК?

Так как ABCD - квадрат, а AP = BM = CE = DK = 4 см, то PA = MB = EC = KD = 4 см. Так же, AB = BC = CD = AD. Рассмотрим треугольник MBP. MB = 4 см, угол BMP = 60°. Так как ABCD - квадрат, то угол ABC = 90°, значит, угол MBP = 90°. Из треугольника BMP, угол MPB = 180° - 90° - 60° = 30°, значит, MB = 1/2 MP, то MP = 2MB = 2 × 4 = 8 см.

Поскольку квадрат ABCD и точки P, M, E, K расположены симметрично, то PM = ME = EK = KP. Следовательно, четырехугольник PMEK - ромб, а так как стороны PM = ME = EK = KP = 8 см, то он является квадратом.

Периметр PMEK = 4 × PM = 4 × 8 = 32 см.

Ответ: Периметр четырехугольника PMEK равен 32 см.