947. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) A (0; 1), B (1; −4), C (5; 2); б) A (−4; 1), B (−2; 4), C (0; 1).

а) Найдём квадраты длин сторон: \(AB^2=(1-0)^2+(-4-1)^2=26\), \(BC^2=(5-1)^2+(2+4)^2=52\), \(AC^2=(5-0)^2+(2-1)^2=26\). Следовательно, \(AB=AC=\sqrt{26}\), треугольник равнобедренный. Площадь по формуле координат: \(S=\frac12|0(-4-2)+1(2-1)+5(1+4)|=13\).

б) \(AB^2=2^2+3^2=13\), \(BC^2=2^2+(-3)^2=13\), \(AC^2=4^2+0^2=16\). Значит, \(AB=BC=\sqrt{13}\). Площадь: \(S=\frac12|(-4)(4-1)+(-2)(1-1)+0(1-4)|=6\).

Ответ: а) равнобедренный при вершине A, площадь 13; б) равнобедренный при вершине B, площадь 6.