Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим меньшую сторону прямоугольника как \( a = 15 \) см.
Диагональ \( d = 10\sqrt{3} \) см.
Пусть \( \alpha = 30^0 \) — угол между диагональю и основанием (большей стороной).
В прямоугольном треугольнике, образованном меньшей стороной, большей стороной и диагональю, мы можем использовать тригонометрические соотношения.
1. Найдём большую сторону \( b \).
В данном треугольнике, меньшая сторона \( a \) противолежит углу \( \alpha \).
$$\\sin \alpha = \frac{a}{d}$$
$$\\sin 30^0 = \frac{15}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$
$$\\frac{15}{10\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Условие выполнено.
Большая сторона \( b \) прилегает к углу \( \alpha \) вместе с диагональю.
$$\\cos \alpha = \frac{b}{d}$$
$$b = d \cos \alpha = 10\sqrt{3} \cdot \cos 30^0 = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 5 \cdot 3 = 15$$ см.
Важно: В условии сказано, что меньшая сторона равна 15 см, а диагональ $$10√3$$. Если угол между диагональю и основанием 30 градусов, то противолежащий катет (меньшая сторона) равен $$10√3 \times \frac{1}{2} = 5√3$$. Если меньшая сторона равна 15, то $$5√3 \ne 15$$. Здесь имеется противоречие в условиях задачи. Примем, что меньшая сторона равна 15 см, а диагональ $$10√3$$ и угол между диагональю и основанием 30 градусов. В таком случае, по теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = d^2$$, где $$a$$ - меньшая сторона, $$b$$ - большая сторона, $$d$$ - диагональ. Мы имеем $$15^2 + b^2 = (10√3)^2 \rightarrow 225 + b^2 = 100 \times 3 = 300 \rightarrow b^2 = 300 - 225 = 75 \rightarrow b = √75 = 5√3$$. Таким образом, большая сторона $$b = 5√3 \text{ см}$$.
2. Найдём площадь прямоугольника.
Площадь \( S = a \cdot b \)
$$S = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3}$$ см$$^2$$.
Ответ: Большая сторона равна $$5\sqrt{3}$$ см, площадь прямоугольника равна $$75\sqrt{3}$$ см$$^2$$.
