8. Найдите первообразную функции $$f(x) = 1-2x$$, график которой проходит через точку M(3; 2)

Решение:

1. Найдем общую формулу первообразной для функции \( f(x) = 1 - 2x \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу: \( \int (1-2x) dx = \int 1 dx - \int 2x dx \).

$$\\int 1 dx = x$$

$$\\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \frac{x^2}{2} = x^2$$

Таким образом, общая формула первообразной:

$$F(x) = x - x^2 + C$$, где \( C \) — константа интегрирования.

2. Используем условие, что график первообразной проходит через точку \( M(3; 2) \). Это означает, что при \( x = 3 \) значение функции \( F(x) = 2 \).

Подставим эти значения в формулу первообразной:

$$2 = 3 - 3^2 + C$$

$$2 = 3 - 9 + C$$

$$2 = -6 + C$$

$$C = 2 + 6$$

$$C = 8$$

3. Подставим найденное значение \( C \) в общую формулу первообразной:

$$F(x) = x - x^2 + 8$$

Ответ: $$F(x) = x - x^2 + 8$$.