9. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответственно 6 см и 10 см. Диагональ АС, равная 32 см, пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка КС.

Решение:

В трапеции ABCD основания \( BC \parallel AD \). Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( K \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle BKC \) и \( \triangle DKA \).

Углы \( \angle BKC \) и \( \angle DKA \) — вертикальные, поэтому \( \angle BKC = \angle DKA \).

Углы \( \angle KBC \) и \( \angle KDA \) — накрест лежащие при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \), поэтому \( \angle KBC = \angle KDA \).

Углы \( \angle KCB \) и \( \angle KAD \) — накрест лежащие при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \), поэтому \( \angle KCB = \angle KAD \).

Следовательно, \( \triangle BKC \) подобен \( \triangle DKA \) по двум углам (или по трём).

Из подобия следует отношение соответствующих сторон:

\[ \frac{BK}{DK} = \frac{CK}{AK} = \frac{BC}{AD} \]

Нам дано: \( BC = 6 \) см, \( AD = 10 \) см, \( AC = 32 \) см.

Отношение оснований: \( \frac{BC}{AD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).

Следовательно, отношение отрезков диагоналей также равно \( \frac{3}{5} \):

\[ \frac{CK}{AK} = \frac{3}{5} \]

Из этого следует, что \( CK = \frac{3}{5} AK \).

Мы знаем, что \( AC = AK + CK = 32 \) см.

Подставим \( AK = 32 - CK \) в первое уравнение:

\[ CK = \frac{3}{5} (32 - CK) \]

\[ 5 CK = 3 (32 - CK) \]

\[ 5 CK = 96 - 3 CK \]

\[ 8 CK = 96 \]

\[ CK = \(\frac{96}{8}\) = 12 \) см.

Ответ: 12 см