8. В окружности проведены две хорды АВ и СД, пересекающиеся в точке К, КС = 6, АК = 8, ВК + DK = 28. Найдите произведение ВК и DK.

Решение:

Согласно свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков каждой хорды равно:

\[ AK \cdot BK = CK \cdot DK \]

Нам дано: \( AK = 8 \) см, \( CK = 6 \) см, \( BK + DK = 28 \) см.

Из равенства хорд имеем: \( 8 \cdot BK = 6 \cdot DK \).

Выразим \( BK \) через \( DK \) (или наоборот):

\( BK = \frac{6 \cdot DK}{8} = \frac{3}{4} DK \).

Подставим это выражение в уравнение \( BK + DK = 28 \):

\[ \frac{3}{4} DK + DK = 28 \]

\[ \frac{7}{4} DK = 28 \]

\[ DK = 28 \(\cdot\) \(\frac{4}{7}\) = 4 \(\cdot\) 4 = 16 \) см.

Теперь найдём \( BK \):

\( BK = 28 - DK = 28 - 16 = 12 \) см.

Найдём произведение \( BK \cdot DK \):

\[ BK \(\cdot\) DK = 12 \(\cdot\) 16 = 192 \).

Также можно проверить равенство хорд: \( AK \cdot BK = 8 \cdot 12 = 96 \) и \( CK \cdot DK = 6 \cdot 16 = 96 \).

Ответ: 192