Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Чтобы найти точки экстремума (минимума и максимума), нужно найти первую производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знак производной на интервалах.
- \( y = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x - 1 \)
Найдём первую производную:
\[ y' = \frac{3x^2}{3} - 4x + 3 = x^2 - 4x + 3 \]Приравняем к нулю:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]Корни уравнения (по теореме Виета): \( x_1 = 1, x_2 = 3 \>.
Проверим знаки \( y' \):
- При \( x < 1 \), например \( x = 0 \): \( y' = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 > 0 \) (функция возрастает).
- При \( 1 < x < 3 \), например \( x = 2 \): \( y' = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \) (функция убывает).
- При \( x > 3 \), например \( x = 4 \): \( y' = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \) (функция возрастает).
Таким образом, \( x = 1 \) — точка максимума, \( x = 3 \) — точка минимума.
- \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \)
Найдём первую производную:
\[ y' = 4x^3 - 4x \]Приравняем к нулю:
\[ 4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \]Корни: \( x = -1, x = 0, x = 1 \>.
Проверим знаки \( y' \):
- При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( y' = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8(3) = -24 < 0 \) (убывает).
- При \( -1 < x < 0 \), например \( x = -0.5 \): \( y' = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -2(0.25 - 1) = -2(-0.75) = 1.5 > 0 \) (возрастает).
- При \( 0 < x < 1 \), например \( x = 0.5 \): \( y' = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 2(0.25 - 1) = 2(-0.75) = -1.5 < 0 \) (убывает).
- При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( y' = 4(2)(2^2 - 1) = 8(3) = 24 > 0 \) (возрастает).
Таким образом, \( x = -1 \) — точка минимума, \( x = 0 \) — точка максимума, \( x = 1 \) — точка минимума.
- \( y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5 \)
Найдём первую производную:
\[ y' = 6x^2 - 18x + 12 \]Приравняем к нулю:
\[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \]Корни уравнения (по теореме Виета): \( x_1 = 1, x_2 = 2 \>.
Проверим знаки \( y' \):
- При \( x < 1 \), например \( x = 0 \): \( y' = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12 > 0 \) (возрастает).
- При \( 1 < x < 2 \), например \( x = 1.5 \): \( y' = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = 6(2.25) - 27 + 12 = 13.5 - 27 + 12 = -1.5 < 0 \) (убывает).
- При \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( y' = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 6(9) - 54 + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 > 0 \) (возрастает).
Таким образом, \( x = 1 \) — точка максимума, \( x = 2 \) — точка минимума.
Ответ: 1. \( x=1 \) — максимум, \( x=3 \) — минимум; 2. \( x=-1 \) — минимум, \( x=0 \) — максимум, \( x=1 \) — минимум; 3. \( x=1 \) — максимум, \( x=2 \) — минимум.
