10. Задача на движение (скорость, ускорение)

Решение:

1. Точка движется по закону \( s(t) = 5t^2 + 2t - 3 \). Найдите скорость в момент \( t = 2 \>.

   Скорость \( v(t) \) — это первая производная от пути \( s(t) \):

   \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(5t^2 + 2t - 3) = 10t + 2 \]

   Теперь найдём скорость в момент \( t = 2 \>:

   \[ v(2) = 10(2) + 2 = 20 + 2 = 22 \]
2. Тело движется по закону \( s(t) = t^3 - 4t^2 + 6t \). Найдите ускорение в момент \( t = 1 \>.

   Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости \( v(t) \), или вторая производная от пути \( s(t) \>.

   Сначала найдём скорость:

   \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 4t^2 + 6t) = 3t^2 - 8t + 6 \]

   Теперь найдём ускорение:

   \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 6) = 6t - 8 \]

   Найдём ускорение в момент \( t = 1 \>:

   \[ a(1) = 6(1) - 8 = 6 - 8 = -2 \]
3. Скорость точки \( v(t) = 6t^2 - 2t + 1 \). Найдите путь за первые 2 секунды.

   Путь \( S \) за промежуток времени от \( t_1 \) до \( t_2 \) равен определённому интегралу от скорости:

   \[ S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]

   В нашем случае \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 2 \>:

   \[ S = \int_{0}^{2} (6t^2 - 2t + 1) dt \]\[ S = \left[ \frac{6t^3}{3} - \frac{2t^2}{2} + t \right]_{0}^{2} = \left[ 2t^3 - t^2 + t \right]_{0}^{2} \]\[ S = (2(2)^3 - 2^2 + 2) - (2(0)^3 - 0^2 + 0) \]\[ S = (2(8) - 4 + 2) - 0 = (16 - 4 + 2) = 14 \]

Ответ: 1. \( 22 \); 2. \( -2 \); 3. \( 14 \).