8. Площадь фигуры (интеграл, ограниченной линиями)

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, нужно найти точки пересечения кривых и вычислить определённый интеграл.

1. \( y = 9 - x^2, y = 0 \)
   

   Найдем точки пересечения: \( 9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \>.

   Площадь вычисляется как:

   \[ S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} \]\[ S = (9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3}) - (9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3}) \]\[ S = (27 - 9) - (-27 - (-9)) = 18 - (-18) = 36 \]
2. \( y = x^2 - 2x, y = 0 \)
   

   Найдем точки пересечения: \( x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2 \>.

   Парабола \( y = x^2 - 2x \) направлена ветвями вверх. Между \( x=0 \) и \( x=2 \) функция отрицательна. Площадь вычисляется как:

   \[ S = \int_{0}^{2} (0 - (x^2 - 2x)) dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx \]\[ S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) \]\[ S = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \]
3. \( y = x + 2, y = x^2 \)
   

   Найдем точки пересечения: \( x + 2 = x^2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \>.
   По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \), \( x_1 x_2 = -2 \>.
   Корни: \( x_1 = 2, x_2 = -1 \>.

   На интервале \( (-1, 2) \) функция \( y = x + 2 \) находится выше \( y = x^2 \>.

   \[ S = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx \]\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]\[ S = (\frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}) \]\[ S = (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) \]\[ S = (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{3 - 12 + 2}{6}) = \frac{18 - 8}{3} - \frac{-7}{6} \]\[ S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Ответ: 1. \( 36 \); 2. \( \frac{4}{3} \); 3. \( \frac{9}{2} \).