Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
- \( 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \)
Сделаем замену \( t = \sin x \>.
\[ 2t^2 - t - 1 = 0 \]Решим квадратное уравнение:
\[ D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]\[ t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4} \]\[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \], \quad t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]Возвращаемся к замене:
1) \( \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \>.
2) \( \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \>.
- \( \cos^2 x + \cos x - 2 = 0 \)
Сделаем замену \( t = \cos x \>.
\[ t^2 + t - 2 = 0 \]Решим квадратное уравнение:
\[ D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]\[ t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]\[ t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \], \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]Возвращаемся к замене:
1) \( \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \>.
2) \( \cos x = -2 \) — решений нет, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \>.
- \( \operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x + 2 = 0 \)
Сделаем замену \( t = \operatorname{tg} x \>.
\[ t^2 - 3t + 2 = 0 \]Решим квадратное уравнение:
\[ D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \]\[ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2} \]\[ t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \], \quad t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]Возвращаемся к замене:
1) \( \operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \>.
2) \( \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \>.
Ответ: 1. \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k \), \( n, k \in \mathbb{Z} \); 2. \( x = 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); 3. \( x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( n, k \in \mathbb{Z} \).
