9. Решите уравнение: \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \). (3 балла)

Решение:

Решим кубическое уравнение методом группировки.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

\( (x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0 \)

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\( x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \)

Теперь вынесем общий множитель \( (x + 3) \) за скобки:

\( (x + 3)(x^2 - 4) = 0 \)

Второй множитель \( (x^2 - 4) \) является разностью квадратов \( (x - 2)(x + 2) \).

\( (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( x + 3 = 0 \) или \( x - 2 = 0 \) или \( x + 2 = 0 \)

\( x_1 = -3 \) или \( x_2 = 2 \) или \( x_3 = -2 \)

Ответ: \( x = -3, x = 2, x = -2 \)