10. Докажите, что у равных треугольников BDE и BD₁E₁ биссектрисы, проведенные из вершин В и В₁, равны. (3 балла)

Доказательство:

Пусть у нас есть два равных треугольника \( \triangle BDE \) и \( \triangle B_1D_1E_1 \). По условию равенства треугольников, соответствующие стороны и углы равны.

Из условия \( \triangle BDE = \triangle B_1D_1E_1 \), следует:

1. Соответствующие стороны равны: \( BD = B_1D_1 \), \( BE = B_1E_1 \), \( DE = D_1E_1 \).
2. Соответствующие углы равны: \( \angle B = \angle B_1 \), \( \angle D = \angle D_1 \), \( \angle E = \angle E_1 \).

Рассмотрим биссектрисы \( BK \) в \( \triangle BDE \) и \( B_1K_1 \) в \( \triangle B_1D_1E_1 \), проведенные из вершин \( B \) и \( B_1 \) соответственно.

Биссектриса делит угол пополам. Так как \( \angle B = \angle B_1 \), то \( \angle DBK = \frac{1}{2} \angle B \) и \( \angle D_1B_1K_1 = \frac{1}{2} \angle B_1 \).

Следовательно, \( \angle DBK = \angle D_1B_1K_1 \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle BDK \) и \( \triangle B_1D_1K_1 \). У них:

• \( BD = B_1D_1 \) (по условию равенства треугольников).
• \( \angle D = \angle D_1 \) (по условию равенства треугольников).
• \( \angle DBK = \angle D_1B_1K_1 \) (доказано выше).

По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), \( \triangle BDK = \triangle B_1D_1K_1 \).

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, в том числе и биссектрисы:

\( BK = B_1K_1 \).

Что и требовалось доказать.