9. Решите систему уравнений {x - y = -5, x^2 - 2xy - y^2 = 17.

Задание 9. Система уравнений (линейное и квадратное)

Нам нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - y = -5 \\ x^2 - 2xy - y^2 = 17 \end{cases} \]

1. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения:

Из \( x - y = -5 \) выразим \( x \):

\[ x = y - 5 \]

2. Подставим во второе уравнение:

Заменим \( x \) вторым уравнением на \( y - 5 \):

\[ (y - 5)^2 - 2(y - 5)y - y^2 = 17 \]

3. Раскроем скобки и упростим:

Раскроем \( (y - 5)^2 \): \( y^2 - 10y + 25 \).

Раскроем \( -2(y - 5)y \): \( -2(y^2 - 5y) = -2y^2 + 10y \).

Теперь подставим обратно в уравнение:

\[ (y^2 - 10y + 25) - (2y^2 - 10y) - y^2 = 17 \]

Уберем скобки (обратите внимание на знак перед второй скобкой):

\[ y^2 - 10y + 25 - 2y^2 + 10y - y^2 = 17 \]

4. Приведем подобные члены:

Сложим члены с \( y^2 \): \( y^2 - 2y^2 - y^2 = -2y^2 \).

Сложим члены с \( y \): \( -10y + 10y = 0 \).

Остается:

\[ -2y^2 + 25 = 17 \]

5. Решим полученное квадратное уравнение для 'y':

Вычтем 25 из обеих частей:

\[ -2y^2 = 17 - 25 \]

\[ -2y^2 = -8 \]

Разделим обе части на -2:

\[ y^2 = 4 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ y = \pm \sqrt{4} \]

\[ y_1 = 2, \quad y_2 = -2 \]

6. Найдем соответствующие значения 'x':

Используем \( x = y - 5 \).

Если \( y_1 = 2 \):

\[ x_1 = 2 - 5 = -3 \]

Если \( y_2 = -2 \):

\[ x_2 = -2 - 5 = -7 \]

7. Проверим решения (необязательно, но полезно):

Для \( x = -3, y = 2 \): \( -3 - 2 = -5 \) (верно). \( (-3)^2 - 2(-3)(2) - 2^2 = 9 + 12 - 4 = 17 \) (верно).

Для \( x = -7, y = -2 \): \( -7 - (-2) = -7 + 2 = -5 \) (верно). \( (-7)^2 - 2(-7)(-2) - (-2)^2 = 49 - 28 - 4 = 17 \) (верно).

8. Запишем пары решений:

Решения системы: \( (-3, 2) \) и \( (-7, -2) \).

Ответ: (-3, 2), (-7, -2)