9. Найдите значение $$n$$, удовлетворяющее условию $$7^{10} \cdot 7^{-4} : 7^n = \frac{1}{7}$$

Решение:

1. Упростим левую часть выражения, используя свойства степеней: \( 7^{10} \cdot 7^{-4} : 7^n = 7^{10 + (-4) - n} = 7^{6-n} \).
2. Правую часть выражения \( \frac{1}{7} \) представим как степень с основанием 7: \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \).
3. Приравняем показатели степеней: \( 6 - n = -1 \).
4. Решим уравнение относительно \( n \): \( n = 6 - (-1) \), \( n = 6 + 1 \), \( n = 7 \).

Ответ: \( n = 7 \).