9. Исследуйте функцию f(x)=-x⁴ + 4x³ - 3 и постройте ее график.

Пошаговое решение:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, D(f) = R.
2. Четность/нечетность: f(-x) = -(-x)⁴ + 4(-x)³ - 3 = -x⁴ - 4x³ - 3. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Пересечение с осями:
   - С осью Oy: при x=0, f(0) = -3. Точка (0, -3).
   - С осью Ox: -x⁴ + 4x³ - 3 = 0. Это уравнение сложно решить аналитически.
4. Производная:
   f'(x) = (-x⁴ + 4x³ - 3)' = -4x³ + 12x².
5. Критические точки:
   f'(x) = 0 => -4x³ + 12x² = 0 => -4x²(x - 3) = 0.
   Критические точки: x = 0 и x = 3.
6. Интервалы монотонности и точки экстремума:
   - Интервал (-∞, 0): Возьмем x = -1. f'(-1) = -4(-1)³ + 12(-1)² = 4 + 12 = 16 > 0 (функция возрастает).
   - Интервал (0, 3): Возьмем x = 1. f'(1) = -4(1)³ + 12(1)² = -4 + 12 = 8 > 0 (функция возрастает).
   - Интервал (3, +∞): Возьмем x = 4. f'(4) = -4(4)³ + 12(4)² = -4(64) + 12(16) = -256 + 192 = -64 < 0 (функция убывает).
   - Точка x=0 не является точкой экстремума, так как знак производной не меняется.
   - Точка x=3 является точкой максимума.
7. Значение функции в точке максимума:
   f(3) = -(3)⁴ + 4(3)³ - 3 = -81 + 4(27) - 3 = -81 + 108 - 3 = 24. Точка (3, 24).
8. Вывод: Функция возрастает на интервале (-∞, 3] и убывает на интервале [3, +∞). Точка (3, 24) - точка максимума.

График: (Визуализация графика невозможна в данном текстовом формате. График будет иметь локальный максимум в точке (3, 24) и пересекать ось Oy в точке (0, -3). Функция стремится к -∞ при x → ±∞.)