8. Найдите наибольшее значение функции f(x) = x/3 + 3/x на отрезке [-5; -1].

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции:
   f(x) = \(\frac{1}{3}x + 3x^{-1}\).
   f'(x) = \(\frac{1}{3} - 3x^{-2}\) = \(\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}\).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \(\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0 \)
   \(\frac{1}{3} = \frac{3}{x^2} \)
   \( x^2 = 9 \)
   \( x = ±3 \).
3. Нас интересует отрезок [-5; -1]. Из критических точек на этот отрезок попадает только x = -3.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей на отрезок:
   f(-5) = \(\frac{-5}{3} + \frac{3}{-5}\) = \(-\frac{5}{3} - \frac{3}{5}\) = \(-\frac{25+9}{15}\) = \(-\frac{34}{15}\) ≈ -2.27.
   f(-3) = \(\frac{-3}{3} + \frac{3}{-3}\) = -1 - 1 = -2.
   f(-1) = \(\frac{-1}{3} + \frac{3}{-1}\) = \(-\frac{1}{3} - 3\) = \(-\frac{1+9}{3}\) = \(-\frac{10}{3}\) ≈ -3.33.
5. Сравним полученные значения: -2.27, -2, -3.33. Наибольшее значение равно -2.

Ответ: -2