10. Составьте уравнение касательной к графику функции y = 2/x, проходящей через точку М(0; 2).

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции f(x) = 2/x = 2x⁻¹:
   f'(x) = -2x⁻² = -2/x².
2. Уравнение касательной в точке x₀ имеет вид:
   y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)
   y - \(\frac{2}{x₀}\) = \(-\frac{2}{x₀²}\)(x - x₀).
3. Подставим координаты точки M(0; 2) в уравнение касательной, так как она лежит на этой прямой:
   2 - \(\frac{2}{x₀}\) = \(-\frac{2}{x₀²}\)(0 - x₀)
   2 - \(\frac{2}{x₀}\) = \(-\frac{2}{x₀²}\)(-x₀)
   2 - \(\frac{2}{x₀}\) = \(\frac{2x₀}{x₀²}\)
   2 - \(\frac{2}{x₀}\) = \(\frac{2}{x₀}\).
4. Решим полученное уравнение относительно x₀:
   2 = \(\frac{2}{x₀}\) + \(\frac{2}{x₀}\)
   2 = \(\frac{4}{x₀}\)
   x₀ = 4 / 2
   x₀ = 2.
5. Теперь найдем значение y₀ = f(x₀) = f(2):
   y₀ = 2/2 = 1.
   Точка касания: (2, 1).
6. Найдем значение производной в точке касания x₀ = 2:
   f'(2) = -2/(2)² = -2/4 = -1/2.
7. Составим уравнение касательной, используя найденные x₀, y₀ и f'(x₀):
   y - 1 = -1/2 (x - 2)
   y - 1 = -1/2 x + 1
   y = -1/2 x + 2.

Ответ: y = -1/2 x + 2