9. Исследуйте функцию f (x) = x³-3x² + 2 и постройте ее график.

Привет! Исследование функции и построение графика — это как детективное расследование, где мы ищем все подсказки, чтобы нарисовать правильную картину. Давай приступим!

1. Область определения функции:

Функция $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $$D(f) = (-∞, +∞)$$.

2. Четность/нечетность:

Проверим, является ли функция четной или нечетной.

$$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2$$.

Так как $$f(-x) ≠ f(x)$$ и $$f(-x) ≠ -f(x)$$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями:

• С осью Oy: Положим $$x = 0$$.
• $$f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$$.
• Точка пересечения с Oy: $$(0, 2)$$.
• С осью Ox: Положим $$f(x) = 0$$.
• $$x^3 - 3x^2 + 2 = 0$$.
• Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (числа 2), то есть $$±1, ±2$$.
• При $$x = 1$$: $$1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$. Значит, $$x=1$$ — корень.
• Так как $$x=1$$ — корень, то $$(x-1)$$ является множителем многочлена. Разделим многочлен на $$(x-1)$$:

     x^2  - 2x  - 2
   ________________
 x-1 | x^3 - 3x^2 + 0x + 2
     -(x^3 - x^2)
     __________
          -2x^2 + 0x
         -(-2x^2 + 2x)
         ____________
                -2x + 2
               -(-2x + 2)
               _________
                     0 

Получаем, что $$x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0$$.

Теперь решим квадратное уравнение $$x^2 - 2x - 2 = 0$$. По теореме Виета или через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$$.

$$x = rac{-b ± √{D}}{2a} = rac{2 ± √{12}}{2} = rac{2 ± 2√{3}}{2} = 1 ± √{3}$$.

Итак, точки пересечения с Ox: $$x = 1$$, $$x = 1 + √{3}$$ (приблизительно $$1 + 1.732 = 2.732$$), $$x = 1 - √{3}$$ (приблизительно $$1 - 1.732 = -0.732$$).

4. Промежутки монотонности и точки экстремума:

• Найдем производную: $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$.
• Приравняем к нулю: $$3x^2 - 6x = 0 ⇒ 3x(x - 2) = 0$$.
• Критические точки: $$x = 0$$ и $$x = 2$$.
• Определим знаки производной на интервалах $$(-∞, 0)$$, $$(0, 2)$$, $$(2, +∞)$$:
• На $$(-∞, 0)$$, например, при $$x = -1$$: $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$$ (функция возрастает).
• На $$(0, 2)$$, например, при $$x = 1$$: $$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$$ (функция убывает).
• На $$(2, +∞)$$, например, при $$x = 3$$: $$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$$ (функция возрастает).
• Выводы:
• Функция возрастает на $$(-∞, 0]$$ и $$[2, +∞)$$.
• Функция убывает на $$[0, 2]$$.
• В точке $$x = 0$$ — локальный максимум. $$f(0) = 2$$. Точка максимума $$(0, 2)$$.
• В точке $$x = 2$$ — локальный минимум. $$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$$. Точка минимума $$(2, -2)$$.

5. Построение графика:

Используя найденные точки и информацию о монотонности:

• Точки пересечения с осями: $$(0, 2)$$, $$(1, 0)$$, $$(1 + √{3}, 0)$$, $$(1 - √{3}, 0)$$.
• Точки экстремума: максимум $$(0, 2)$$, минимум $$(2, -2)$$.
• Функция возрастает до $$x=0$$, убывает от $$x=0$$ до $$x=2$$, снова возрастает после $$x=2$$.

Ответ:

• Область определения: $$(-∞, +∞)$$.
• Точки пересечения с осями: $$(0, 2)$$, $$(1, 0)$$, $$(1+√{3}, 0)$$, $$(1-√{3}, 0)$$.
• Экстремумы: максимум в точке $$(0, 2)$$, минимум в точке $$(2, -2)$$.
• Монотонность: возрастает на $$(-∞, 0]$$ и $$[2, +∞)$$, убывает на $$[0, 2]$$.