10. Найдите, при каких значениях числа а функция y = x³ +5x²+ax - 2 возрастает для всех действительных х.

Краткое пояснение:

Функция возрастает, если её производная неотрицательна для всех значений x. Для этого нам нужно найти производную функции и решить неравенство, чтобы определить условие для параметра 'a'.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную функции.

   Производная функции \( y = x^3 + 5x^2 + ax - 2 \) равна:

   \( y' = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(ax) - \frac{d}{dx}(2) \)

   \( y' = 3x^2 + 10x + a \)

2. Шаг 2: Запишем условие возрастания функции.

   Функция возрастает, если \( y' \ge 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). То есть, нам нужно, чтобы квадратный трехчлен \( 3x^2 + 10x + a \) был неотрицателен для всех \( x \).

3. Шаг 3: Найдем условие для параметра 'a'.

   Квадратный трехчлен \( Ax^2 + Bx + C \) неотрицателен для всех \( x \) если выполняются два условия:

   1. Коэффициент при \( x^2 \) (A) больше нуля. В нашем случае \( A = 3 \), что больше нуля.
   2. Дискриминант (D) меньше или равен нулю: \( D = B^2 - 4AC \le 0 \).

   В нашем случае \( A = 3 \), \( B = 10 \), \( C = a \).

   Дискриминант: \( D = 10^2 - 4 � 3 � a \)

   \( D = 100 - 12a \)

   Условие \( D \le 0 \) принимает вид:

   \( 100 - 12a \le 0 \)

   \( 100 \le 12a \)

   \( a \ge \frac{100}{12} \)

   \( a \ge \frac{25}{3} \)

Ответ: Функция возрастает для всех действительных x при \( a \ge \frac{25}{3} \).