9. Используйте свойства функций и решите неравенство log_0.5 x ≥ x - 6.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \log_{0.5} x \) и \( y = x - 6 \).

Область определения для \( y = \log_{0.5} x \) — \( x > 0 \).

Функция \( y = \log_{0.5} x \) — убывающая, так как основание \( 0.5 < 1 \).

Функция \( y = x - 6 \) — возрастающая.

Найдем точки пересечения графиков функций, решив уравнение \( \log_{0.5} x = x - 6 \).

Подбором находим, что при \( x=4 \):

\[ \log_{0.5} 4 = -2 \]\[ 4 - 6 = -2 \]

При \( x=0.5 \):

\[ \log_{0.5} 0.5 = 1 \]\[ 0.5 - 6 = -5.5 \]

При \( x=0.25 \):

\[ \log_{0.5} 0.25 = 2 \]\[ 0.25 - 6 = -5.75 \]

При \( x=8 \):

\[ \log_{0.5} 8 = -3 \]\[ 8 - 6 = 2 \]

Таким образом, графики пересекаются в точке \( x=4 \).

Так как \( \log_{0.5} x \) — убывающая, а \( x - 6 \) — возрастающая функция, то неравенство \( \log_{0.5} x ≥ x - 6 \) выполняется для тех \( x \), при которых график убывающей функции находится выше или на уровне графика возрастающей функции. Это происходит при \( 0 < x ≤ 4 \).

Ответ: \( (0; 4] \).