9. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна стороне треугольника. Определите угол при основании.

Решение:

Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). \( AB = BC \).

Пусть \( CL \) — биссектриса угла \( C \) при основании. Тогда \( \angle ACL = \angle BCL \).

По условию, \( CL = AC \).

В треугольнике \( ACL \), так как \( CL = AC \), он равнобедренный. Следовательно, \( \angle CAL = \angle CLA \).

Пусть \( \angle C = 2x \) (угол при основании). Тогда \( \angle A = 2x \) (так как \( AB = BC \)).

\( \angle B = 180° - 4x \).

Биссектриса \( CL \) делит угол \( C \) пополам, поэтому \( \angle ACL = \angle BCL = x \).

В треугольнике \( ACL \):

\( \angle CAL = \angle A = 2x \).

\( \angle CLA = \angle CAL = 2x \) (как углы при основании равнобедренного \( ACL \)).

Сумма углов в треугольнике \( ACL \) равна 180°:

\( \angle CAL + \angle ACL + \angle CLA = 180° \)

\( 2x + x + 2x = 180° \)

\( 5x = 180° \)

\( x = \frac{180°}{5} = 36° \).

Угол при основании — это \( \angle C = 2x \).

\( \angle C = 2 • 36° = 72° \).

Угол при вершине \( B \) равен \( 180° - 4 • 36° = 180° - 144° = 36° \).

Проверка: \( \angle A = 72° \), \( \angle C = 72° \), \( \angle B = 36° \). В треугольнике \( ACL \): \( \angle A = 72° \), \( \angle ACL = 36° \), \( \angle CLA = 72° \). \( 72° + 36° + 72° = 180° \).

Ответ: 72°.