3. Хорда Ав равна 18 см. ОА и ОВ — радиусы окружности, при чём \(\angle\) AOB = 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ.

Решение:

В треугольнике \( AOB \) \( OA = OB = 18 \) см (радиусы) и \( \angle AOB = 90° \). Треугольник \( AOB \) — равнобедренный прямоугольный.

Расстояние от точки \( O \) до хорды \( AB \) — это высота \( OH \) в равнобедренном треугольнике \( AOB \), которая также является медианой и биссектрисой.

По теореме Пифагора в треугольнике \( AOH \): \( OA^2 = OH^2 + AH^2 \).

Так как \( OH \) — медиана, \( AH = \frac{1}{2} AB \).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, поэтому \( AB = OA \cdot √{2} = 18√{2} \) см. Тогда \( AH = \frac{18√{2}}{2} = 9√{2} \) см.

Подставляем в теорему Пифагора: \( 18^2 = OH^2 + (9√{2})^2 \)

\( 324 = OH^2 + 81 • 2 \)

\( 324 = OH^2 + 162 \)

\( OH^2 = 324 - 162 = 162 \)

\( OH = √{162} = √{81 • 2} = 9√{2} \) см.

Ответ: 9√{2} см.