8. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершин при основании, при пересечении образуют угол в 140°. Найдите угол, противолежащий основанию.

Решение:

Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). \( AB = BC \).

Высоты \( BH \) (к \( AC \)) и \( BK \) (к \( AC \)) проведены из вершин при основании \( A \) и \( C \). Рассмотрим пересечение высот \( AE \) (из \( A \) к \( BC \)) и \( CF \) (из \( C \) к \( AB \)).

Пусть \( O \) — точка пересечения высот \( AE \) и \( CF \). Угол \( \angle AOC = 140° \).

Рассмотрим четырехугольник \( AFOC \). Сумма углов в нем равна 360°.

\( \angle FAC = \angle A \), \( \angle OCA = \angle C \).

\( \angle AFC = 90° \) (так как \( CF \) — высота).

\( \angle AEC = 90° \) (так как \( AE \) — высота).

В четырехугольнике \( AFOC \): \( \angle AOC + \angle OAF + \angle AFC + \angle FCO = 360° \)

\( 140° + \angle A + 90° + \angle C = 360° \)

\( \angle A + \angle C = 360° - 140° - 90° \)

\( \angle A + \angle C = 130° \).

Так как треугольник равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle A = \angle C \).

\( 2 \angle A = 130° \)

\( \angle A = \angle C = 65° \).

Угол, противолежащий основанию, — это \( \angle B \).

\( \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - 130° = 50° \).

Ответ: 50°.