7. В треугольнике АВС углы В и С относятся как 5 : 3, а угол А на 80° больше их разности. Найдите углы, на которые высота треугольника AD разбивает угол А.

Решение:

Пусть \( \angle B = 5x \) и \( \angle C = 3x \).

Разность углов \( \angle B \) и \( \angle C \) равна \( 5x - 3x = 2x \).

По условию, \( \angle A = ( \angle B - \angle C ) + 80° = 2x + 80° \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \)

\( (2x + 80°) + 5x + 3x = 180° \)

\( 10x + 80° = 180° \)

\( 10x = 100° \)

\( x = 10° \).

Найдем углы треугольника:

\( \angle B = 5x = 5 • 10° = 50° \).

\( \angle C = 3x = 3 • 10° = 30° \).

\( \angle A = 2x + 80° = 2 • 10° + 80° = 20° + 80° = 100° \).

Проверка: \( 50° + 30° + 100° = 180° \).

Высота \( AD \) в треугольнике \( ABC \) является биссектрисой и медианой, если треугольник равнобедренный. Но \( \angle B \neq \angle C \), значит, \( AD \) — это высота, проведенная из вершины \( A \) к основанию \( BC \).

В прямоугольном треугольнике \( ADC \):

\( \angle DAC = 90° - \angle C = 90° - 30° = 60° \).

В прямоугольном треугольнике \( ADB \):

\( \angle DAB = 90° - \angle B = 90° - 50° = 40° \).

Высота \( AD \) разбивает угол \( A \) на углы \( \angle DAB = 40° \) и \( \angle DAC = 60° \).

Ответ: 40°, 60°.