9. (3 балла) Решите уравнение \(\frac{2\sin^2 x-\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{2}\)=0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\frac{3\pi}{2}\); 3\(\pi\)].

Решение:

Упростим уравнение:

\[ 2\sin^2 x - \sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}-x) = 0 \]

Используем тригонометрическое тождество \( \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x \).

\[ 2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x = 0 \]

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( \sin x = 0 \)

\[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. \( 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \)

\[ 2\sin x = \sqrt{3} \]

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).

Для \( x = \pi k \):

• Если \( k=1 \), \( x = \pi \) (не принадлежит отрезку).
• Если \( k=2 \), \( x = 2\pi \) (не принадлежит отрезку).
• Если \( k=3 \), \( x = 3\pi \) (принадлежит отрезку).

Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

• Если \( n=0 \), \( x = \frac{\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку).
• Если \( n=1 \), \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \) (принадлежит отрезку, так как \( \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \) и \( \frac{7\pi}{3} = \frac{14\pi}{6} \), \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \)).

Для \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):

• Если \( n=0 \), \( x = \frac{2\pi}{3} \) (не принадлежит отрезку).
• Если \( n=1 \), \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \) (принадлежит отрезку, так как \( \frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{6} \)).

Ответ: \( x = 3\pi, x = \frac{7\pi}{3}, x = \frac{8\pi}{3} \).