867. Найти производную функции: \(y=\dfrac{x^{m+n+1}}{(m+1)^2+n^2}\big[(m+1)\cos(n\ln x)+n\sin(n\ln x)\big]\).

Обозначим \(a=m+1\), а постоянный знаменатель — \(D=a^2+n^2\). Используем правило произведения:

\[y'=\frac{x^{m+n}}{D}\left[(m+n+1)(a\cos(n\ln x)+n\sin(n\ln x))+n(-a\sin(n\ln x)+n\cos(n\ln x))\right].\]

Ответ: \(y'=\dfrac{x^{m+n}}{(m+1)^2+n^2}\left(\big((m+n+1)(m+1)+n^2\big)\cos(n\ln x)+n^2\sin(n\ln x)\right)\).