854а. Проволоку длиной в \(34\frac{1}{2}\) м разрезали на 3 части. В первой части была \(\frac{1}{4}\) всей проволоки, во второй \(\frac{8}{9}\) проволоки, оставшейся после того, как отрезали первую часть, и в третьей — остаток. Сколько проволоки было в каждой части?

Решение:

Общая длина проволоки: \(L = 34\frac{1}{2} = \frac{69}{2}\) м.

1. Длина первой части: \(L_1 = L \cdot \frac{1}{4} = \frac{69}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{69}{8}\) м.
2. Длина проволоки, оставшейся после отрезания первой части: \(L_{ост1} = L - L_1 = \frac{69}{2} - \frac{69}{8} = \frac{69 \cdot 4 - 69}{8} = \frac{276 - 69}{8} = \frac{207}{8}\) м.
3. Длина второй части: \(L_2 = L_{ост1} \cdot \frac{8}{9} = \frac{207}{8} \cdot \frac{8}{9} = \frac{207}{9} = 23\) м.
4. Длина третьей части (остаток): \(L_3 = L_{ост1} - L_2 = \frac{207}{8} - 23 = \frac{207 - 23 \cdot 8}{8} = \frac{207 - 184}{8} = \frac{23}{8}\) м.

Проверка: \(L_1 + L_2 + L_3 = \frac{69}{8} + 23 + \frac{23}{8} = \frac{69+23}{8} + 23 = \frac{92}{8} + 23 = \frac{23}{2} + 23 = 11.5 + 23 = 34.5 = \frac{69}{2}\) м.

Ответ: Первая часть — \(\frac{69}{8}\) м, вторая часть — 23 м, третья часть — \(\frac{23}{8}\) м.