8. Запишите выражение \(\frac{(x^{-2}+4xy)^2}{y^{-4}+4x^3y^{-3}} - 4x^{-1}y^5\) в виде несократимой дроби без степеней с отрицательными показателями.

Решение:

Сначала преобразуем числитель первой дроби:

\((x^{-2}+4xy)^2 = (x^{-2})^2 + 2(x^{-2})(4xy) + (4xy)^2\)

\(= x^{-4} + 8x^{-1}y + 16x^2y^2\)

Теперь преобразуем знаменатель первой дроби, приведя к общему знаменателю \(y^4\):

\(y^{-4}+4x^3y^{-3} = \frac{1}{y^4} + \frac{4x^3}{y^3} = \frac{1}{y^4} + \frac{4x^3y}{y^4} = \frac{1+4x^3y}{y^4}\)

Теперь первая дробь выглядит так:

\(\frac{x^{-4} + 8x^{-1}y + 16x^2y^2}{\frac{1+4x^3y}{y^4}}\)

Представим числитель с положительными степенями:

\(x^{-4} + 8x^{-1}y + 16x^2y^2 = \frac{1}{x^4} + \frac{8y}{x} + 16x^2y^2\)

Приведем этот числитель к общему знаменателю \(x^4\):

\(\frac{1}{x^4} + \frac{8yx^3}{x^4} + \frac{16x^6y^2}{x^4} = \frac{1+8x^3y+16x^6y^2}{x^4}\)

Теперь первая дробь — это:

\(\frac{\frac{1+8x^3y+16x^6y^2}{x^4}}{\frac{1+4x^3y}{y^4}} = \frac{1+8x^3y+16x^6y^2}{x^4} \cdot \frac{y^4}{1+4x^3y}\)

Заметим, что \(1+8x^3y+16x^6y^2 = (1+4x^3y)^2\).

Значит, первая дробь равна:

\(\frac{(1+4x^3y)^2}{x^4} \cdot \frac{y^4}{1+4x^3y} = \frac{(1+4x^3y)y^4}{x^4}\)

Теперь вычтем вторую часть выражения:

\(\frac{(1+4x^3y)y^4}{x^4} - 4x^{-1}y^5 = \frac{(1+4x^3y)y^4}{x^4} - \frac{4y^5}{x}\)

Приведем к общему знаменателю \(x^4\):

\(\frac{(1+4x^3y)y^4}{x^4} - \frac{4y^5x^3}{x^4} = \frac{y^4 + 4x^3y^5 - 4x^3y^5}{x^4} = \frac{y^4}{x^4}\)

Ответ: \(\frac{y^4}{x^4}\)