4. Вычислите \(\frac{81^{-4} \cdot 9^4}{27^{-3} \cdot (-10)^{-2}}\)

Решение:

Представим все числа в виде степеней с основанием 3 и 10:

\(81 = 3^4\)

\(9 = 3^2\)

\(27 = 3^3\)

\(10 = 10^1\)

Подставим в выражение:

\(\frac{(3^4)^{-4} \cdot (3^2)^4}{(3^3)^{-3} \cdot (-10)^{-2}} = \frac{3^{-16} \cdot 3^{8}}{3^{-9} \cdot (-10)^{-2}}\)

Упростим числитель:

\(3^{-16} \cdot 3^{8} = 3^{-16+8} = 3^{-8}\)

Упростим знаменатель:

\((-10)^{-2} = \frac{1}{(-10)^2} = \frac{1}{100}\)

Теперь всё выражение:

\(\frac{3^{-8}}{3^{-9} \cdot \frac{1}{100}} = \frac{3^{-8}}{3^{-9}} \cdot 100 = 3^{-8 - (-9)} \cdot 100 = 3^{-8+9} \cdot 100 = 3^1 \cdot 100 = 3 \cdot 100 = 300\)

Ответ: 300