8. X

Решение:

На чертеже изображена окружность с центром O. Точки A, B, C, D лежат на окружности. AD — диаметр. Длина хорды CD = 4, длина хорды BC = 2. Длина хорды AB = \(4\sqrt{3}\). Вписанный угол ACB опирается на диаметр AD, следовательно, \( \angle ACB = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике ACB: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). \( AC^2 + 2^2 = (4\sqrt{3})^2 \). \( AC^2 + 4 = 16 \times 3 \). \( AC^2 + 4 = 48 \). \( AC^2 = 44 \). \( AC = \sqrt{44} = \sqrt{4 \times 11} = 2\sqrt{11} \). Вписанный угол ABD опирается на хорду AD. Угол ACD опирается на хорду AD. Угол CAD опирается на хорду CD. Угол ABD опирается на хорду AD. Угол CDB опирается на хорду CB. Угол CAD = \( \angle CBD \). Угол ACD = \( \angle ABD \). Угол BAC = \( \angle BDC \). Угол ADB = \( \angle ACB = 90^{\circ} \) — неверно, угол ACB = 90. Угол ADB опирается на хорду AB. Угол ACB=90. Так как AD — диаметр, то \( \angle ABD = 90^{\circ} \) и \( \angle ACD = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике ABD: \( AD^2 = AB^2 + BD^2 \). В прямоугольном треугольнике ACD: \( AD^2 = AC^2 + CD^2 \). \( AD^2 = (2\sqrt{11})^2 + 4^2 = 44 + 16 = 60 \). \( AD = \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} \). Диаметр AD = \(2\sqrt{15}\). Радиус окружности R = \( \frac{AD}{2} = \sqrt{15} \). В прямоугольном треугольнике BCD: \( BD^2 + BC^2 = CD^2 \) — неверно, BC и CD — хорды, BD — тоже хорда. \( BD^2 + 2^2 = CD^2 \) — неверно. У нас есть треугольник ABC, где AC = \(2\sqrt{11}\), BC = 2, AB = \(4\sqrt{3}\). Треугольник ACD, где AC = \(2\sqrt{11}\), CD = 4, AD = \(2\sqrt{15}\). Треугольник ABD, где AB = \(4\sqrt{3}\), AD = \(2\sqrt{15}\), BD — ? Треугольник BCD, где BC = 2, CD = 4, BD — ? В прямоугольном треугольнике ACD: \( AC^2 + CD^2 = AD^2 \). \( AC^2 = AD^2 - CD^2 = (2\sqrt{15})^2 - 4^2 = 60 - 16 = 44 \). \( AC = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \). В прямоугольном треугольнике ABD: \( AB^2 + BD^2 = AD^2 \). \( (4\sqrt{3})^2 + BD^2 = (2\sqrt{15})^2 \). \( 48 + BD^2 = 60 \). \( BD^2 = 12 \). \( BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \). Теперь рассмотрим треугольник BCD. Стороны: BC = 2, CD = 4, BD = \(2\sqrt{3}\). Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора. \( BC^2 + BD^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16 \). \( CD^2 = 4^2 = 16 \). Так как \( BC^2 + BD^2 = CD^2 \), то треугольник BCD — прямоугольный, и \( \angle CBD = 90^{\circ} \). Искомая величина X — это длина хорды AB. На чертеже X обозначена хорда AB. Мы знаем, что AB = \(4\sqrt{3}\). Следовательно, X = \(4\sqrt{3}\).

Ответ: X = \(4\sqrt{3}\).