8. Решите уравнение sin 2x · tgx + 1 = 3sinx.

Решение:

Преобразуем уравнение:

\( \sin(2x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 3\sin x \)

Заменим \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \):

\( 2\sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 3\sin x \)

При условии \( \cos x
e 0 \) (то есть \( x
e \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \)), сокращаем \( \cos x \):

\( 2\sin^2 x + 1 = 3\sin x \)

Сделаем замену \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение:

\( 2t^2 + 1 = 3t \)

\( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 \)

\( t_1 = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\( t_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \).

1) \( \sin x = \frac{1}{2} \)

\( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2) \( \sin x = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Однако, мы наложили условие \( x
e \frac{\pi}{2} + \pi n \). Значит, решения \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) не подходят.

Проверим, не приводят ли полученные решения к \( \cos x = 0 \).

Если \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), то \( \cos x = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
e 0 \).

Если \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \), то \( \cos x = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
e 0 \).

Следовательно, подходящими являются только решения из первого случая.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).