11. Отрезок SC – перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника ABC ( <B=90°). Найдите расстояние от точки S до прямой AB, если AC=13 см, AB=5 см, SC =16 см.

Решение:

По условию \( SC \perp \text{плоскости} \triangle ABC \).

Поскольку \( SC \perp \text{любой прямой, лежащей в плоскости} \triangle ABC \) и проходящей через точку \( C \), то \( SC \perp BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \).

По теореме Пифагора найдём \( BC \):

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)

\( 13^2 = 5^2 + BC^2 \)

\( 169 = 25 + BC^2 \)

\( BC^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( BC = \sqrt{144} = 12 \) см.

Расстояние от точки \( S \) до прямой \( AB \) — это длина перпендикуляра, опущенного из \( S \) на прямую \( AB \).

Поскольку \( SC \perp AB \) (так как \( SC \perp \text{плоскости} \triangle ABC \) и \( AB \) лежит в этой плоскости), а \( BC \perp AB \) (так как \( \triangle ABC \) прямоугольный), то \( SB \) является наклонной к прямой \( AB \), а \( SC \) и \( BC \) — перпендикуляры, проведённые из \( S \) к \( AB \) через \( C \).

В данном случае, прямая \( AB \) параллельна плоскости \( SBC \) (если \( AB \) не проходит через \( C \)).

Рассмотрим плоскость \( SBC \). Так как \( SC \perp BC \) и \( BC \perp AB \), то \( SB \) является искомым расстоянием. Это следует из того, что \( SC \perp AB \) и \( BC \perp AB \).

Проведем через точку \( C \) прямую \( CD \) параллельную \( AB \). Тогда \( SCD \) — плоскость, параллельная \( AB \). Расстояние от \( S \) до \( AB \) — это расстояние от \( S \) до плоскости \( SCD \).

Однако, более простая логика: расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Нам нужно найти длину перпендикуляра из \( S \) на \( AB \).

Рассмотрим треугольник \( SAB \).

\( SC \perp AB \) и \( BC \perp AB \). Это значит, что \( SC \) и \( BC \) лежат в одной плоскости, перпендикулярной \( AB \).

Построим плоскость \( P \), перпендикулярную \( AB \) и проходящую через \( S \).

Из \( S \) опустим перпендикуляр \( SH \) на прямую \( AB \).

Так как \( SC \perp AB \) и \( BC \perp AB \), то \( SH \) будет лежать в плоскости \( SBC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( SBC \) (так как \( SC \perp BC \)).

\( SB^2 = SC^2 + BC^2 \)

\( SB^2 = 16^2 + 12^2 \)

\( SB^2 = 256 + 144 = 400 \)

\( SB = \sqrt{400} = 20 \) см.

Ответ: 20 см.