8. Решите систему уравнений { 2x - y = 10, x² - 3xy + y² = 4

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \( y = 2x - 10 \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( x^2 - 3x(2x - 10) + (2x - 10)^2 = 4 \).
3. Раскроем скобки: \( x^2 - 6x^2 + 30x + (4x^2 - 40x + 100) = 4 \).
4. Приведем подобные члены: \( x^2 - 6x^2 + 30x + 4x^2 - 40x + 100 = 4 \).
5. \( -x^2 - 10x + 100 = 4 \).
6. Перенесем все в одну сторону: \( -x^2 - 10x + 96 = 0 \).
7. Умножим на -1: \( x^2 + 10x - 96 = 0 \).
8. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 × 1 × (-96) = 100 + 384 = 484 \). \( √{D} = 22 \).
9. Найдем значения \( x \): \( x_1 = \frac{-10 + 22}{2 × 1} = \frac{12}{2} = 6 \). \( x_2 = \frac{-10 - 22}{2 × 1} = \frac{-32}{2} = -16 \).
10. Найдем соответствующие значения \( y \), подставляя \( x \) в \( y = 2x - 10 \):
• При \( x_1 = 6 \): \( y_1 = 2 × 6 - 10 = 12 - 10 = 2 \).
• При \( x_2 = -16 \): \( y_2 = 2 × (-16) - 10 = -32 - 10 = -42 \).

Ответ: (6; 2) и (-16; -42).