8. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см²

Дано:

• Периметр прямоугольника $$P = 30$$ см.
• Площадь прямоугольника $$S = 56$$ см².

Найти: Длины сторон прямоугольника ($$a$$ и $$b$$).

Решение:

1. Запишем формулы периметра и площади прямоугольника:

   $$P = 2(a + b)$$

   $$S = a \cdot b$$

2. Подставим известные значения в формулу периметра и найдем сумму сторон:

   $$30 = 2(a + b)$$

   $$a + b = \frac{30}{2}$$

   $$a + b = 15$$

3. Выразим одну сторону через другую из полученного уравнения. Пусть $$a = 15 - b$$.
4. Подставим это выражение в формулу площади:

   $$(15 - b) \cdot b = 56$$

5. Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

   $$15b - b^2 = 56$$

   $$b^2 - 15b + 56 = 0$$

6. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант ($$D = b^2 - 4ac$$):

   $$a = 1$$, $$b = -15$$, $$c = 56$$

   $$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56$$

   $$D = 225 - 224$$

   $$D = 1$$

7. Найдем корни уравнения ($$b_1$$ и $$b_2$$):

   $$b_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

   $$b_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

8. Найдем соответствующие значения $$a$$ для каждого $$b$$:

   Если $$b = 8$$, то $$a = 15 - 8 = 7$$.

   Если $$b = 7$$, то $$a = 15 - 7 = 8$$.

9. Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.