10. Цена товара была снижена дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5 000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

Дано:

• Первоначальная стоимость $$C_0 = 5000$$ рублей.
• Окончательная стоимость $$C_k = 4050$$ рублей.
• Цена снижалась дважды на один и тот же процент $$p$$.

Найти: Процент снижения $$p$$.

Решение:

Пусть $$p$$ — процент снижения в десятичной форме (например, 10% = 0.1). Тогда при каждом снижении цена умножается на коэффициент $$(1-p)$$.

1. После первого снижения цена станет:

   $$C_1 = C_0 \cdot (1 - p) = 5000 \cdot (1 - p)$$

2. После второго снижения цена станет:

   $$C_k = C_1 \cdot (1 - p) = (5000 \cdot (1 - p)) \cdot (1 - p) = 5000 \cdot (1 - p)^2$$

3. Мы знаем, что окончательная цена равна 4050 рублей. Приравняем это к выражению:

   $$4050 = 5000 \cdot (1 - p)^2$$

4. Выразим $$(1-p)^2$$:

   $$(1 - p)^2 = \frac{4050}{5000}$$

5. Сократим дробь:

   $$(1 - p)^2 = \frac{405}{500} = \frac{81}{100}$$

6. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

   $$1 - p = \sqrt{\frac{81}{100}}$$

   $$1 - p = \frac{9}{10}$$

7. Найдем $$p$$:

   $$p = 1 - \frac{9}{10}$$

   $$p = \frac{1}{10}$$

8. Переведем $$p$$ в проценты, умножив на 100:

   $$p = \frac{1}{10} \cdot 100\% = 10\%$$

Проверка:

• Первоначальная цена: 5000 руб.
• После первого снижения на 10%: $$5000 \cdot (1 - 0.1) = 5000 \cdot 0.9 = 4500$$ руб.
• После второго снижения на 10%: $$4500 \cdot (1 - 0.1) = 4500 \cdot 0.9 = 4050$$ руб.

Совпадает с окончательной ценой.

Ответ: Цена товара снижалась каждый раз на 10%.