№ 8. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник, площадь которого равна 18 см². Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса.

Решение:

Дано:

• Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник.
• Площадь осевого сечения \( S_{ос} = 18 \) см².

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, стороны которого равны \( 2r \) (основание) и \( l \) (боковые стороны). Если этот треугольник прямоугольный, то его катеты равны \( r \) и \( h \), а гипотенуза — \( l \). Однако, условие задачи гласит, что осевое сечение — прямоугольный треугольник, площадь которого равна 18 см². Это означает, что диагональное сечение конуса является прямоугольным треугольником. В таком случае, катеты этого треугольника — это радиус основания \( r \) и высота конуса \( h \), а площадь равна \( S_{ос} = \frac{1}{2} r h \).

1. Из условия \( S_{ос} = \frac{1}{2} r h = 18 \) см², получаем \( r h = 36 \) см².
2. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием \( 2r \) и высотой \( h \). Если этот треугольник прямоугольный, то угол при вершине равен 90°.
3. В этом случае, по теореме Пифагора: \( (2r)^2 = l^2 + l^2 \) → \( 4r^2 = 2l^2 \) → \( l^2 = 2r^2 \).
4. Также, \( l^2 = r^2 + h^2 \). Следовательно, \( 2r^2 = r^2 + h^2 \), что означает \( r^2 = h^2 \), т.е. \( r = h \).
5. Подставим \( h = r \) в уравнение \( r h = 36 \):

$$ r r = 36 \implies r^2 = 36 r = 6 \text{ см} $$
$$ h = r = 6 \text{ см} $$

6. Найдем образующую конуса \( l \):

$$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см} $$

7. Вычислим площадь полной поверхности конуса \( S \):

$$ S = \pi r(r + l) = \pi \cdot 6 \text{ см} (6 \text{ см} + 6\sqrt{2} \text{ см}) = 36\pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2 $$

8. Вычислим объем конуса \( V \):

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6 \text{ см})^2 (6 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 6 = \pi \cdot 12 6 = 72\pi \text{ см}^3 $$

Ответ: Площадь полной поверхности равна \( 36\pi (1 + \sqrt{2}) \) см², объем конуса равен \( 72\pi \) см³.