№ 7. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса, если площадь его осевого сечения равна 240 см², а площадь основания - 100π см².

Решение:

Дано:

• Площадь осевого сечения \( S_{ос} = 240 \) см².
• Площадь основания \( S_{осн} = 100\pi \) см².

Площадь основания конуса равна \( S_{осн} = \pi r^2 \).

1. Найдем радиус основания конуса \( r \):

$$ r^2 = \frac{S_{осн}}{\pi} = \frac{100\pi \text{ см}^2}{\pi} = 100 \text{ см}^2 $$
$$ r = \sqrt{100} = 10 \text{ см} $$

2. Найдем высоту конуса \( h \). Площадь осевого сечения \( S_{ос} = r \cdot h \).

$$ h = \frac{S_{ос}}{r} = \frac{240 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 24 \text{ см} $$

3. Найдем образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора:

$$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(10 \text{ см})^2 + (24 \text{ см})^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \text{ см} $$

4. Вычислим площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} \):

$$ S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 10 \text{ см} 26 \text{ см} = 260\pi \text{ см}^2 $$

5. Вычислим объем конуса \( V \):

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (10 \text{ см})^2 (24 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 24 = \pi \cdot 100 8 = 800\pi \text{ см}^3 $$

Ответ: Площадь боковой поверхности равна \( 260\pi \) см², объем конуса равен \( 800\pi \) см³.