№ 4. Радиус основания конуса равен 2 см, а площадь его осевого сечения 12 см². Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса.

Решение:

Дано:

• Радиус основания конуса \( r = 2 \) см.
• Площадь осевого сечения \( S_{ос} = 12 \) см².

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру конуса \( 2r \), а высота равна высоте конуса \( h \). Площадь осевого сечения равна \( S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h \).

1. Найдем высоту конуса \( h \):

$$ h = \frac{S_{ос}}{r} = \frac{12 \text{ см}^2}{2 \text{ см}} = 6 \text{ см} $$

2. Найдем образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора:

$$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2 \text{ см})^2 + (6 \text{ см})^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см} $$

3. Вычислим площадь полной поверхности конуса \( S \):

$$ S = \pi r(r + l) = \pi \cdot 2 \text{ см} (2 \text{ см} + 2\sqrt{10} \text{ см}) = 4\pi (1 + \sqrt{10}) \text{ см}^2 $$

4. Вычислим объем конуса \( V \):

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2 \text{ см})^2 (6 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 6 = 8\pi \text{ см}^3 $$

Ответ: Площадь полной поверхности равна \( 4\pi (1 + \sqrt{10}) \) см², объем конуса равен \( 8\pi \) см³.