№ 6. Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса, если образующая равна 13 см, а диаметр равен 24 см.

Решение:

Дано:

• Образующая конуса \( l = 13 \) см.
• Диаметр основания \( d = 24 \) см.

Радиус основания конуса \( r = \frac{d}{2} = \frac{24 \text{ см}}{2} = 12 \text{ см} \).

1. Найдем высоту конуса \( h \) по теореме Пифагора:

$$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(13 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} $$

2. Вычислим площадь полной поверхности конуса \( S \):

$$ S = \pi r(r + l) = \pi \cdot 12 \text{ см} (12 \text{ см} + 13 \text{ см}) = \pi \cdot 12 \cdot 25 = 300\pi \text{ см}^2 $$

3. Вычислим объем конуса \( V \):

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (12 \text{ см})^2 (5 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 5 = \pi \cdot 48 5 = 240\pi \text{ см}^3 $$

Ответ: Площадь полной поверхности равна \( 300\pi \) см², объем конуса равен \( 240\pi \) см³.