8. Найдите значение выражения \(\frac{(a^5)^3 \cdot a^6}{a^{22}}\), при \(a = 2\).

Решение:

• 1. Упростим выражение, используя свойства степеней:
  • \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
  • \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
  • \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
• 2. Применим свойства степеней к числителю:
  • \((a^5)^3 = a^{5 \times 3} = a^{15}\)
  • \(a^{15} \cdot a^6 = a^{15+6} = a^{21}\)
• 3. Теперь подставим упрощенный числитель в исходное выражение:
  • \(\frac{a^{21}}{a^{22}}\).
• 4. Применим свойство деления степеней:
  • \(a^{21-22} = a^{-1}\)
• 5. Вспомним, что \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), следовательно:
  • \(a^{-1} = \frac{1}{a}\)
• 6. Подставим данное значение \(a = 2\) в полученное выражение:
  • \(\frac{1}{a} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{1}{2}\)