793. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (b), если известно, что все члены последовательности положительны и b₃ = 20, а b₅ = 80.

Решение:

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

1. Найдем знаменатель прогрессии \( q \).

\[ b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} \]

\[ 80 = 20 \cdot q^2 \]

\[ q^2 = \frac{80}{20} = 4 \]

\[ q = \pm 2 \]

Так как все члены прогрессии положительны, то \( q = 2 \).

2. Найдем первый член прогрессии \( b_1 \).

\[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} \]

\[ 20 = b_1 \cdot 2^2 \]

\[ 20 = b_1 \cdot 4 \]

\[ b_1 = \frac{20}{4} = 5 \]

3. Найдем сумму первых семи членов прогрессии. Формула суммы \( S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} \).

\[ S_7 = \frac{5(2^7-1)}{2-1} \]

\[ S_7 = \frac{5(128-1)}{1} \]

\[ S_7 = 5 \cdot 127 = 635 \]

Ответ: \( S_7 = 635 \).