791. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b), в которой b₆ = \(\frac{1}{2}\) и \( q = \frac{1}{2}\).

Решение:

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \).

1. Найдем первый член прогрессии \( b_1 \).

\[ b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} \]

\[ \frac{1}{2} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \]

\[ \frac{1}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{32} \]

\[ b_1 = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 \]

2. Найдем сумму первых шести членов прогрессии. Формула суммы \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \).

\[ S_6 = \frac{16 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6\right)}{1 - \frac{1}{2}} \]

\[ S_6 = \frac{16 \left(1 - \frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}} \]

\[ S_6 = 16 \cdot 2 \cdot \left(\frac{64-1}{64}\right) \]

\[ S_6 = 32 \cdot \frac{63}{64} = \frac{32 \cdot 63}{64} = \frac{63}{2} = 31.5 \]

Ответ: \( S_6 = 31.5 \) (или \( \frac{63}{2} \)).