710. Высоты ВМ и СК треугольника АВС пересекаются в точке H, ∠ABC = 35°, ∠ACB = 83°. Найдите ∠BHC.

Решение:

1. Угол A в треугольнике ABC:

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

$$\( \angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle ACB \)$$

$$\( \angle BAC = 180° - 35° - 83° = 180° - 118° = 62° \)$$

2. Углы в треугольнике ABM:

BM — высота, значит, ∠BMA = 90°.

$$\( \angle BAM = \angle BAC = 62° \)$$

$$\( \angle ABM = 180° - 90° - 62° = 28° \)$$

3. Углы в треугольнике ACK:

CK — высота, значит, ∠CKA = 90°.

$$\( \angle KAC = \angle BAC = 62° \)$$

$$\( \angle ACK = 180° - 90° - 62° = 28° \)$$

4. Углы в треугольнике BHC:

Нам нужно найти ∠BHC. Рассмотрим треугольник BHC.

$$\( \angle HBC = \angle ABC - \angle ABM \)$$

$$\( \angle HBC = 35° - 28° = 7° \)$$

$$\( \angle HCB = \angle ACB - \angle ACK \)$$

$$\( \angle HCB = 83° - 28° = 55° \)$$

Сумма углов в треугольнике BHC равна 180°:

$$\( \angle BHC = 180° - \angle HBC - \angle HCB \)$$

$$\( \angle BHC = 180° - 7° - 55° = 180° - 62° = 118° \)$$

Альтернативный способ:

Угол, образованный двумя высотами треугольника, можно найти по формуле: $$\( \angle BHC = 180° - \angle A \)$$

$$\( \angle BHC = 180° - 62° = 118° \)$$

Ответ: 118°