709. На рисунке 352 АВ = BC = CD = DE, BF ⊥ AC, DK ⊥ CE. Докажите, что AF = EK.

Доказательство:

1. Анализ данных:

• AB = BC = CD = DE (равные отрезки).
• BF ⊥ AC (BF — высота в ΔABC).
• DK ⊥ CE (DK — высота в ΔCDE).
• AC и CE — гипотенузы в соответствующих треугольниках.

2. Рассмотрение ΔABC:

• AB = BC, значит, ΔABC — равнобедренный.
• BF — высота, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой.
• Следовательно, AF = FC.

3. Рассмотрение ΔCDE:

• CD = DE, значит, ΔCDE — равнобедренный.
• DK — высота, проведенная к основанию CE. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой.
• Следовательно, CK = KE.

4. Связь между отрезками:

• Из равенства AB = BC следует, что AC = AB + BC = 2 * AB (или 2 * BC).
• Из равенства CD = DE следует, что CE = CD + DE = 2 * CD (или 2 * DE).
• Так как AB = BC = CD = DE, то AC = 2 * AB и CE = 2 * CD.
• Поскольку AB = CD, то AC = CE.
• Итак, гипотенузы AC и CE равны.

5. Сравнение высот и оснований:

• В ΔABC, BF — высота, AF — половина основания AC.
• В ΔCDE, DK — высота, CK — половина основания CE.
• Мы знаем, что AC = CE.
• В равнобедренных треугольниках, если основания равны, то и высоты, проведенные к этим основаниям, равны. Значит, BF = DK.

6. Доказательство AF = EK:

• Мы уже установили, что AF = FC (из равнобедренности ΔABC).
• И CK = KE (из равнобедренности ΔCDE).
• Так как AC = 2 * AF и CE = 2 * CK, и AC = CE, то 2 * AF = 2 * CK, следовательно, AF = CK.
• Теперь рассмотрим ΔBCK. BC = CD (дано). CK = KE.
• Рассмотрим ΔBFC и ΔDKE.
• BF = DK (высоты в равных основаниях равны).
• AF = FC (медиана). CK = KE (медиана).
• Из AC = CE, и AF = FC, CK = KE, то AF = FC = CK = KE.
• Значит, AF = EK.

Доказано.