704. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно a.

Решение:

а) Боковая сторона равна b

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть оба угла при основании равны \( \alpha \).
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол при вершине равен \( 180° - 2\alpha \).
3. Высоту, опущенную на основание, обозначим h. Она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания.
4. Угол при основании равен \( \alpha \). Высота \( h = b \cdot \cos \alpha \).
5. Половина основания равна \( b \cdot \sin \alpha \), значит, основание равно \( 2b \cdot \sin \alpha \).
6. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cdot \sin \alpha) \cdot (b \cdot \cos \alpha) = b^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
7. Используя формулу синуса двойного угла \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), получаем \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \).
8. Таким образом, \( S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha) \).

б) Основание равно a

1. Угол при основании равен \( \alpha \).
2. Высота \( h \) делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания \( \frac{a}{2} \).
3. Угол при основании равен \( \alpha \). Тогда \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{h}{a/2} \), откуда \( h = \frac{a}{2} \cdot \operatorname{tg} \alpha \).
4. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (\frac{a}{2} \cdot \operatorname{tg} \alpha) = \frac{a^2}{4} \operatorname{tg} \alpha \).

Ответ: а) \( S = b^2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha) \); б) \( S = \frac{a^2}{4} \operatorname{tg} \alpha \).