703. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Выразите через a и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при a = 12, b = 15.

Решение:

Выражение через a и b

1. По теореме Пифагора гипотенуза \( c \) равна \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \).
2. Обозначим острые углы как \( \alpha \) и \( \beta \), причем \( \alpha \) лежит против катета a, а \( \beta \) — против катета b.
3. Тогда \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \) и \( \operatorname{tg} \beta = \frac{b}{a} \).

Значения при a = 12, b = 15

1. \( c = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41} \).
2. \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \).
3. \( \operatorname{tg} \beta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \).

Ответ: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \), \( \operatorname{tg} \beta = \frac{b}{a} \). При \( a = 12 \), \( b = 15 \): \( c = 3\sqrt{41} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{5} \), \( \operatorname{tg} \beta = \frac{5}{4} \).